Je déterre un peu le poste, car j'ai trouvé une réponse sur le forum du Premier site francophone d'actualités sur les Chromebook qui peut-être utile à d'autres personne. Lorsque que "synchronisation de x éléments en cours" reste dans le menu d'état et qu'il tourne en boucle il suffit de désactiver quelques instants la synchronisation avec le compte Google Drive . Dans le menu paramètres de ChromeOS > Paramètres avancés > Confidentialité et sécurité > Dans Fichiers, déconnecter la synchronisation Google Drive. Ensuite redémarrer votre Chromebook, puis réactiver la synchronisation de Google Drive . Voilà le problème est résolu